Вынужденные колебания — колебания , происходящие под воздействием внешних периодических сил.
Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.
Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону:
F
(
t
)
=
F
0
cos
(
Ω
t
)
{\displaystyle F(t)=F_{0}\cos \left(\Omega t\right)}
.
Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде:
m
a
=
−
k
x
+
F
0
cos
(
Ω
t
)
{\displaystyle ma=-kx+F_{0}\cos \left(\Omega t\right)}
. Если ввести обозначения:
ω
0
2
=
k
m
,
Φ
0
=
F
0
m
{\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}},\quad \Phi _{0}={\frac {F_{0}}{m}}}
и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение :
x
¨
+
ω
0
2
x
=
Φ
0
cos
(
Ω
t
)
{\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=\Phi _{0}\cos(\Omega t)}
Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.
Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:
x
(
t
)
=
A
sin
(
ω
0
t
+
φ
)
{\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right)}
,
где
A
,
φ
{\displaystyle A,\varphi }
— произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.
Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида:
x
(
t
)
=
B
cos
(
Ω
t
)
{\displaystyle x(t)=B\cos \left(\Omega t\right)}
и получим значение для константы:
B
=
Φ
0
ω
0
2
−
Ω
2
{\displaystyle B={\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}}}}
Тогда окончательное решение запишется в виде:
x
(
t
)
=
A
sin
(
ω
0
t
+
φ
)
+
Φ
0
ω
0
2
−
Ω
2
cos
(
Ω
t
)
{\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right)+{\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}}}\cos \left(\Omega t\right)}
Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания
Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс , то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде:
x
(
t
)
=
t
(
A
cos
(
Ω
t
)
+
B
sin
(
Ω
t
)
)
{\displaystyle x(t)=t\left(A\cos \left(\Omega t\right)+B\sin \left(\Omega t\right)\right)}
. Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что
A
=
0
B
=
Φ
0
2
Ω
{\displaystyle A=0\qquad B={\frac {\Phi _{0}}{2\Omega }}}
Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:
x
(
t
)
=
Φ
0
2
Ω
t
sin
(
Ω
t
)
{\displaystyle x(t)={\frac {\Phi _{0}}{2\Omega }}t\sin \left(\Omega t\right)}
Второй закон Ньютона:
m
a
=
−
k
x
−
α
v
+
F
0
cos
(
Ω
t
)
{\displaystyle ma=-kx-\alpha v+F_{0}\cos \left(\Omega t\right)}
.
Переобозначения:
ω
0
2
=
k
m
,
Φ
0
=
F
0
m
,
ζ
=
α
2
k
m
{\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}},\qquad \Phi _{0}={\frac {F_{0}}{m}},\qquad \zeta ={\frac {\alpha }{2{\sqrt {km}}}}}
Дифференциальное уравнение:
x
¨
+
2
ζ
ω
0
x
˙
+
ω
0
2
x
=
Φ
0
cos
(
Ω
t
)
{\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=\Phi _{0}\cos \left(\Omega t\right)}
Его решение будет строиться, как сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного . Анализ однородного уравнения приведён здесь . Получим и проанализируем частное решение.
Запишем вынуждающую силу следующим образом:
Φ
0
cos
Ω
t
=
Φ
0
R
e
e
−
i
Ω
t
{\displaystyle \Phi _{0}\cos \Omega t=\Phi _{0}Re\,e^{-i\Omega t}}
, тогда решение будем искать в виде:
x
(
t
)
=
A
e
−
i
Ω
t
{\displaystyle x(t)=Ae^{-i\Omega t}}
, где
A
∈
C
{\displaystyle A\in \mathbb {C} }
. Подставим это решение в уравнение и найдём выражение для
A
{\displaystyle A}
:
A
=
Φ
0
ω
0
2
−
Ω
2
−
2
i
ζ
Ω
ω
0
=
Φ
0
(
ω
0
2
−
Ω
2
+
2
i
ζ
Ω
ω
0
)
(
ω
0
2
−
Ω
2
)
2
+
4
ζ
2
Ω
2
ω
0
2
=
|
A
|
e
−
i
φ
{\displaystyle A={\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}-2i\zeta \Omega \omega _{0}}}={\frac {\Phi _{0}\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}+2i\zeta \Omega \omega _{0}\right)}{\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}\omega _{0}^{2}}}=|A|e^{-i\varphi }}
где
|
A
|
=
Φ
0
(
ω
0
2
−
Ω
2
)
2
+
4
ζ
2
Ω
2
ω
0
2
,
φ
=
−
arctan
2
ζ
Ω
ω
0
ω
0
2
−
Ω
2
{\displaystyle |A|={\frac {\Phi _{0}}{\sqrt {\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}\omega _{0}^{2}}}},\qquad \varphi =-\arctan {\frac {2\zeta \Omega \omega _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}}}}
Полное решение имеет вид:
x
(
t
)
=
e
−
ζ
ω
0
t
(
c
1
cos
(
ω
d
t
)
+
c
2
sin
(
ω
d
t
)
)
+
R
e
[
Φ
0
(
ω
0
2
−
Ω
2
+
2
i
ζ
Ω
ω
0
)
(
ω
0
2
−
Ω
2
)
2
+
4
ζ
2
Ω
2
ω
0
2
e
−
i
Ω
t
]
{\displaystyle x(t)=e^{-\zeta \omega _{0}t}(c_{1}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+c_{2}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t))+Re\left[{\frac {\Phi _{0}\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}+2i\zeta \Omega \omega _{0}\right)}{\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}\omega _{0}^{2}}}e^{-i\Omega t}\right]}
,
где
ω
d
=
ω
0
1
−
ζ
2
{\displaystyle \omega _{\mathrm {d} }=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}
— собственная частота затухающих колебаний.
Константы
c
1
{\displaystyle c_{1}}
и
c
2
{\displaystyle c_{2}}
в каждом из случаев определяются из начальных условий:
{
x
(
0
)
=
x
0
x
˙
(
0
)
=
v
0
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}x(0)&=&x_{0}\\{\dot {x}}(0)&=&v_{0}\end{array}}\right.}
В этом случае, в отличие от осциллятора без трения, амплитуда колебаний в резонансе имеет конечную величину.
Если мы рассмотрим устоявший процесс, то есть ситуацию при
t
→
∞
{\displaystyle t\,\to \,\infty }
, то решение однородного уравнения будет стремиться к нулю и останется только частное решение:
x
(
t
→
∞
)
=
Φ
0
(
ω
0
2
−
Ω
2
)
cos
Ω
t
+
2
ζ
Ω
sin
Ω
t
(
ω
0
2
−
Ω
2
)
2
+
4
ζ
2
Ω
2
=
Φ
0
(
ω
0
2
−
Ω
2
)
2
+
4
ζ
2
ω
0
2
Ω
2
cos
(
Ω
t
−
φ
)
{\displaystyle x(t\to \infty )=\Phi _{0}{\frac {\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)\cos {\Omega t}+2\zeta \Omega \sin {\Omega t}}{\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}}}={\frac {\Phi _{0}}{\sqrt {(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})^{2}+4\zeta ^{2}\omega _{0}^{2}\Omega ^{2}}}}\cos(\Omega t-\varphi )}
Это означает, что при
t
→
∞
{\displaystyle t\,\to \,\infty }
система «забывает» начальные условия, и характер колебаний зависит только от вынуждающей силы.
Работа, совершаемая вынуждающей силой
F
(
t
)
=
F
0
cos
(
Ω
t
)
{\displaystyle F(t)=F_{0}\cos \left(\Omega t\right)}
за время
d
t
{\displaystyle dt\ }
, равна
F
d
x
{\displaystyle Fdx\ }
, а мощность
P
=
F
d
x
d
t
{\displaystyle P=F{\frac {dx}{dt}}}
.
Из уравнения
x
¨
+
2
ζ
ω
0
x
˙
+
ω
0
2
x
=
Φ
0
cos
(
Ω
t
)
{\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=\Phi _{0}\cos \left(\Omega t\right)}
следует, что
P
(
t
)
=
F
x
˙
=
(
x
¨
+
2
ζ
ω
0
x
˙
+
ω
0
2
x
)
m
x
˙
{\displaystyle P(t)=F{\dot {x}}=({\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x)m{\dot {x}}}
Если учесть, что при установившихся вынужденных колебаниях
x
=
A
cos
(
Ω
t
−
φ
)
{\displaystyle x\,=A\,\cos(\Omega t-\varphi )}
x
˙
=
−
A
Ω
sin
(
Ω
t
−
φ
)
{\displaystyle {\dot {x}}=-A\Omega \sin(\Omega t-\varphi )}
x
¨
=
−
A
Ω
2
cos
(
Ω
t
−
φ
)
{\displaystyle {\ddot {x}}=-A\Omega ^{2}\cos(\Omega t-\varphi )}
то тогда средняя за период
T
=
2
π
Ω
{\displaystyle T={\frac {2\pi }{\Omega }}}
мощность:
P
=
m
T
∫
0
T
(
x
¨
+
2
ζ
ω
0
x
˙
+
ω
0
2
x
)
x
˙
d
t
=
A
2
m
ζ
ω
0
Ω
2
{\displaystyle P={\frac {m}{T}}\int _{0}^{T}({\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x){\dot {x}}dt=A^{2}m\zeta \omega _{0}\Omega ^{2}}
Работа за период
W
=
m
∫
0
T
(
x
¨
+
2
ζ
ω
0
x
˙
+
ω
0
2
x
)
x
˙
d
t
=
A
2
m
ζ
ω
0
Ω
2
T
=
2
π
A
2
m
ζ
ω
0
Ω
{\displaystyle W=m\int _{0}^{T}({\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x){\dot {x}}dt=A^{2}m\zeta \omega _{0}\Omega ^{2}T=2\pi A^{2}m\zeta \omega _{0}\Omega }