Гипотеза Лежандра

Гипо́теза Лежа́ндра (3-я пробле́ма Ланда́у) — математическая гипотеза из семейства результатов и гипотез относительно интервалов между простыми числами, согласно которой для любого натурального ${\displaystyle n}$ существует простое число между ${\displaystyle n^{2}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{2}}$. Является одной из проблем Ландау. Сформулирована Лежандром в 1808 году^[1], по состоянию на 2025 год ни доказана, ни опровергнута.

Из теоремы о распределении простых чисел следует, что число простых чисел между ${\displaystyle n^{2}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{2}}$^[2] асимптотически стремится к ${\displaystyle n/\ln n}$. Поскольку это число растёт при росте ${\displaystyle n}$, это даёт основания для гипотезы Лежандра.

Если гипотеза верна, интервал между любым простым ${\displaystyle p}$ и следующим простым всегда должен быть порядка ${\displaystyle O({\sqrt {p}})}$^[3], как выражено в ${\displaystyle O}$-нотации. Две более сильные гипотезы — гипотеза Андрицы и гипотеза Оппермана — предполагают то же самое поведение интервалов. Гипотеза не даёт решение гипотезы Римана, но усиливает одно из следствий в случае верности гипотезы.

Если верна гипотеза Крамера (о том, что промежутки имеют порядок ${\displaystyle (\log p)^{2}}$), то гипотеза Лежандра будет следовать из неё для достаточно больших ${\displaystyle n}$. Крамер также показал, что из гипотезы Римана вытекает более слабая граница ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\log p)}$ размера наибольшего интервала между простыми числами^[4].

Контрпример в районе 10¹⁸ должен был бы иметь интервал в 50 миллионов раз больше среднего интервала.

Из гипотезы Лежандра следует, что по меньшей мере одно простое может быть найдено в каждой половинке оборота спирали Улама.

В начале 2000-х годов установлено, что существует простое число в интервале ${\displaystyle [x,\,x+O(x^{21/40})]}$ для всех больших ${\displaystyle x}$^[5].

Таблица максимальных интервалов простых чисел показывает^[6], что гипотеза выполняется до ${\displaystyle n^{2}=4\cdot 10^{18}}$.

Было доказано, что для бесконечного количества чисел ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ выполняется

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {1}{2}}\left({\frac {(n+1)^{2}}{\log(n+1)}}-{\frac {n^{2}}{\log n}}\right)-{\frac {(\log n)^{2}}{\log \log n}}\right\rfloor \leq \pi \left((n+1)^{2}\right)-\pi \left(n^{2}\right),}$

где ${\displaystyle \pi }$ — функция распределения простых чисел^[7].

• Постулат Бертрана
• Гипотеза Брокара
• Гипотеза Фирузбэхт

• Baker R. C., Harman G., Pintz G., Pintz J. The difference between consecutive primes, II (англ.) // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2001. — Vol. 83, iss. 3. — P. 532—562. — doi:10.1112/plms/83.3.532.
• Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi. Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to ${\displaystyle 4\cdot 10^{18}}$ (англ.) // Mathematics of Computation. — 2014. — Vol. 83, iss. 288. — P. 2033—2060. — doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1.
• Ian Stewart. Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems (англ.). — Basic Books, 2013. — ISBN 9780465022403..

• Weisstein, Eric W. Legendre's conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Hashimoto T. On a certain relation between Legendre's conjecture and Bertrand's postulate : arXiv:0807.3690 [электронный препринт] : [англ.] // arXiv.org. — 2008.
• Mitra A., Paul G., Sarkar U. Some conjectures on the number of primes in certain intervals : arXiv:0906.0104 [электронный препринт] : [англ.] // arXiv.org. — 2009.
• Paz G. On Legendre's, Brocard's, Andirca's and Oppermann's conjectures : arXiv:1310.1323 [электронный препринт] : [англ.] // arXiv.org. — 2013.