Кратномасштабный анализ

Кратномасштабный анализ (КМА) является инструментом построения базисов вейвлетов. Он был разработан в 1988/89 гг. Малла и И. Мейром. Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов.

Понятие кратномасштабного анализа (КМА) является фундаментальным в теории вейвлетов. Для кратномасштабного анализа разработан быстрый каскадный алгоритм вычислений, подобный быстрому преобразованию Фурье.

При выполнении КМА пространство сигналов ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ представляется в виде системы вложенных подпространств ${\displaystyle V_{j}\subset L^{2}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,}$, отличающихся друг от друга перемасштабированием независимой переменной. Таким образом, кратномасштабным анализом (КМА) в ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ называется совокупность замкнутых пространств ${\displaystyle V_{j}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,}$ если выполнены некоторые условия.

(1) Условие вложенности:

${\displaystyle V_{j}\subset V_{j+1}}$ для всех ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$. Все пространство сигналов ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ в целом может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней ${\displaystyle m}$ декомпозиции сигнала;

(2) Условие полноты и плотности разбиения:

${\displaystyle \bigcup \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}}$ плотно в ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} );}$

(3) Условие ортогональности подпространств:

${\displaystyle \bigcap \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}={0};}$

(4) Условие сохранения в подпространстве при сдвигах функций:

${\displaystyle f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(t+1)\in V_{j};}$

(5) Масштабное преобразование любой функции ${\displaystyle f(t)\in V_{j}}$ по аргументу в 2 раза перемещает функцию в соседнее подпространство:

${\displaystyle f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(2t)\in V_{j+1};}$

${\displaystyle f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(t/2)\in V_{j-1};}$

(6) Существует ${\displaystyle r(t)\in V_{0}}$, целочисленные сдвиги которой по аргументу образуют ортонормированный базис пространства ${\displaystyle V_{0}}$:

${\displaystyle f_{0,k}(t)=f(t-k),k\in \mathbb {Z} .}$ Функция ${\displaystyle r(t)}$ называется скейлинг-функцией (scaling function).

Обозначим сдвиги и растяжения функции ${\displaystyle f:}$ ${\displaystyle f_{k,n}(x)=2^{k/2}f(2^{k}x+n),k,n\in \mathbb {Z} .}$

• Для любого ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$ функции ${\displaystyle \varphi _{j,n},n\in \mathbb {Z} }$ образуют ортонормированный базис в ${\displaystyle V_{j}.}$

• Если ${\displaystyle f\in V_{j},}$ то ${\displaystyle f(\cdot \pm 2^{-j})\in V_{j},j\in \mathbb {Z} }$.

• Функция ${\displaystyle \varphi }$ из условия (5) называется масштабирующей для данного КМА.

Пусть ${\displaystyle \{V_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }}$ образуют КМА. Обозначим через ${\displaystyle W_{j}}$ ортогональное дополнение к ${\displaystyle V_{j}}$ в пространстве ${\displaystyle V_{j+1}.}$ Тогда пространство ${\displaystyle V_{j+1}}$ раскладывается в прямую сумму ${\displaystyle V_{j+1}=V_{j}\bigoplus W_{j}.}$ Таким образом, проводя последовательное разложение пространств ${\displaystyle V_{j}}$ и учитывая условие (3), получим ${\displaystyle V_{j+1}=\bigoplus \limits _{i=-\infty }^{j}W_{i}.}$ А используя условие (2), имеем: ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} )={\overline {\bigoplus \limits _{j=-\infty }^{\infty }W_{j}}}.}$

Таким образом, пространство ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} )}$ разложено в прямую сумму попарно ортогональных подпространств ${\displaystyle W_{j}.}$ Важным является то, что функция ${\displaystyle \varphi }$ порождает другую функцию ${\displaystyle \psi \in W_{0},}$ целочисленные сдвиги которой являются ортонормированным базисом в ${\displaystyle W_{0}.}$ Построение такой ${\displaystyle \psi }$ может быть осуществлено при помощи следующей теоремы.

Пусть ${\displaystyle \{V_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }}$ — КМА с масштабирующей функцией ${\displaystyle \varphi ,}$ ${\displaystyle m_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }h_{n}e^{2\pi in\xi }}$ — её маска, система ${\displaystyle \{\varphi _{0n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$ является ортонормированной,

${\displaystyle \psi :=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }(-1)^{1-n}h_{1-n}\varphi _{1n}.}$

Тогда функции ${\displaystyle \psi _{jn},j,n\in \mathbb {Z} }$ образуют ортонормированный базис пространства ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ).}$

В общем случае ${\displaystyle n-}$мерного пространства ортонормированный базис образует ${\displaystyle 2^{n}-1}$ функций, при помощи которых осуществляется КМА любой функции их ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ пространства, при этом нормировочный множитель равен ${\displaystyle 2^{nm/2}}$.

• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
• Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория Всплесков, (2005), Физматлит, Москва, ISBN 5-9221-0642-2

У этой статьи есть 2 проблемы, помогите их исправить:

В статье есть список источников, но не хватает сносок.

Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (11 сентября 2013)

Раздел литературы нуждается в оформлении согласно рекомендациям.

Пожалуйста, оформите его согласно образцам здесь. (11 сентября 2013)

Пожалуйста, после исправления проблемы удалите соответствующий шаблон. Узнать, как это сделать, можно на справочной странице.