Модуль без кручения

Модуль без кручения — модуль ${\displaystyle M}$ над кольцом ${\displaystyle K}$, такой что из равенства ${\displaystyle \alpha x=0}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — элемент ${\displaystyle K}$, не являющийся делителем нуля, и ${\displaystyle x\in M}$, следует ${\displaystyle \alpha =0}$ или ${\displaystyle x=0}$.

• Целостное кольцо ${\displaystyle K}$ как ${\displaystyle K}$-модуль, а также все его ненулевые левые идеалы являются модулями без кручения.
• Модуль M над коммутативным кольцом K с полем частных Q является модулем без кручения тогда и только тогда, когда Tor₁(Q/K,M) = 0. В частности, все плоские модули являются модулями без кручения.
• Единственные конечно-порожденные модули без кручения над областью главных идеалов — это свободные модули.

• Подмодуль модуля без кручения, а также прямая сумма и прямое произведение модулей без кручения — также модуль без кручения.
• Если кольцо ${\displaystyle K}$ коммутативно, то для любого модуля ${\displaystyle M}$ определен подмодуль

кручения

${\displaystyle Tor(M)=\{x\in M:\exists \alpha \in K,\alpha -{\text{неделитель нуля}},\alpha x=0\}.}$

Тогда фактормодуль ${\displaystyle M/Tor(M)}$ является модулем без кручения.

• Кручение (алгебра)

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Torsion-free_module, Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4.
• Matlis, Eben (1972), Torsion-free modules, The University of Chicago Press, Chicago-London, MR0344237.