Непрерывное отображение

Непреры́вное отображе́ние (непрерывная функция) — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Наиболее общее определение формулируется для отображений топологических пространств: непрерывным считается отображение, при котором прообраз всякого открытого множества открыт. Непрерывность отображений других типов пространств — метрических, нормированных и тому подобных пространств — является непосредственным следствием общего (топологического) определения, но формулируется с использованием структур, заданных в соответствующих пространствах — метрики, нормы и так далее.

В математическом анализе и комплексном анализе, где рассматриваются числовые функции и их обобщения на случай многомерных пространств, непрерывность функции вводится на языке пределов: такие определения непрерывности были исторически первыми и послужили основой для формирования общего понятия.

Существование непрерывных отображений между пространствами позволяет «переносить» свойства одного пространства в другое: например, непрерывный образ компактного пространства также является компактным.

Непрерывное отображение, которое обладает обратным и также непрерывным отображением, называется гомеоморфизмом. Гомеоморфизм порождает на классе топологических пространств отношение эквивалентности; пространства, гомеоморфные друг другу, обладают одними и теми же топологическими свойствами, а сами свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах, называются топологическими инвариантами.

Наиболее общее определение даётся в топологии.

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ топологического пространства ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$ в топологическое пространство ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})}$ называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:

${\displaystyle \forall V\in {\mathcal {T}}_{Y}\quad f^{-1}(V)\in {\mathcal {T}}_{X}}$.

Если рассмотреть некоторое подмножество ${\displaystyle A}$ множества ${\displaystyle X}$, то на этом множестве, естественным образом, индуцируется топология ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{A}}$, которую составляют всевозможные пересечения множества ${\displaystyle A}$ с множествами, входящими в топологию ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$.

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, непрерывное на множестве ${\displaystyle X}$, будет непрерывным на любом его подмножестве в смысле индуцированной на нём топологии.

Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений.

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется непрерывным в точке ${\displaystyle x}$, если для любой окрестности ${\displaystyle V}$ точки ${\displaystyle f(x)}$ найдется такая окрестность ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$, что ${\displaystyle f(U)\subset V}$.

Отображение непрерывно на некотором множестве тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке данного множества.^[1]

В случае, если область определения функции удовлетворяет первой аксиоме счетности, в частности для метрических пространств, непрерывность в точке эквивалентна так называемой секвенциальной непрерывности: если ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$, то ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x)}$. В общем же случае, секвенциально непрерывные прообразы секвенциально замкнутых множеств секвенциально замкнуты, что является аналогом эквивалентного определения непрерывных отображений как тех, при которых прообразы замкнутых множеств замкнуты.

Следующие ниже формулировки эквивалентны:

• прообраз всякого открытого множества открыт;
• прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
• прообраз каждой окрестности точки области значений отображения является окрестностью соответствующей точки области определения;
• образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
• замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.

Таким образом, каждая из этих формулировок может быть использована в качестве определения непрерывности отображения.

В метрических пространствах топология задаётся семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("эпсилон-дельта" - определение):

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ метрического пространства ${\displaystyle (X,\rho _{X})}$ в метрическое пространство ${\displaystyle (Y,\rho _{Y})}$ называется непрерывным в точке ${\displaystyle a}$, если для всякого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$, что для всякого ${\displaystyle x\in X}$, такого, что ${\displaystyle \rho _{X}(x,a)<\delta }$, выполняется неравенство: ${\displaystyle \rho _{Y}(f(x),f(a))<\varepsilon }$.

Для линейных нормированных пространств (включая гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задаётся нормой, поэтому то же определение даётся в терминах нормы.

Пусть, ${\displaystyle f\colon {N_{1}}\to {N_{2}}}$ отображение между нормированными пространствами с нормами ${\displaystyle \|{*}\|_{1}}$ и ${\displaystyle \|{*}\|_{2}}$ соответственно. Функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$, если для любого числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся такое число ${\displaystyle \delta >0}$, что для всех точек ${\displaystyle x\in N_{1}}$, таких что ${\displaystyle \|x-a\|_{1}<\delta }$ выполнено неравенство ${\displaystyle \|f(x)-f(a)\|_{2}<\varepsilon }$,

Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счётности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.

В случае числовой оси нормой обычно является модуль числа, поэтому определение непрерывности функционала ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ (или ${\displaystyle \mathbb {C} }$), где ${\displaystyle X}$ — произвольное топологическое пространство, следующее:

Функционал ${\displaystyle f}$ называется непрерывным в точке ${\displaystyle a\in X}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдется окрестность ${\displaystyle \Sigma _{a}}$ этой точки, такая, что ${\displaystyle \forall x\in \Sigma _{a}}$ выполнено условие ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$.

Множество непрерывных на ${\displaystyle X}$ функционалов (функций) принято обозначать ${\displaystyle C(X)}$. Частным случаем непрерывных функционалов являются непрерывные функции числового аргумента.

Пусть, ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \supset E\to \mathbb {R} }$ (или ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$, если для любого числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся такое число ${\displaystyle \delta >0}$, что для всех точек ${\displaystyle x\in E}$ условие ${\displaystyle |x-a|<\delta }$ влечёт ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$.

Другими словами, функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$, предельной для множества ${\displaystyle E}$, если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

${\displaystyle f\in C(\{a\})\Leftrightarrow \lim \limits _{x\to a}f(x)=f(a)}$

Функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на множестве ${\displaystyle E}$, если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция ${\displaystyle f}$ класса ${\displaystyle C^{0}}$ и пишут: ${\displaystyle f\in C^{0}(E)}$ или, подробнее, ${\displaystyle f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )}$.

• Полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении — открытое (замкнутое) множество

• Образ компактного множества при непрерывном отображении — компактное множество.

• Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней. Это свойство следует из предыдущего.

• Образ связного множества при непрерывном отображении — связное множество.

• Теорема Титце. Любая вещественнозначная непрерывная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства, может быть продолжена до непрерывной функции на всём пространстве.

• Композиция непрерывных отображений также является непрерывным отображением.
• Сумма, разность и произведение непрерывных вещественнозначных функций непрерывны.
• Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности.
• Теорема Стоуна-Вейерштрасса (обобщение классической теоремы Вейерштрасса). Пусть ${\displaystyle C(X)}$- пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве ${\displaystyle X}$. Пусть ${\displaystyle B(X)}$ — подмножество ${\displaystyle C(X)}$, содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае ${\displaystyle B(X)=C(X)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X}$, существует ${\displaystyle f\in B}$, такая что ${\displaystyle f(x_{1})\not =f(x_{2})}$.

• Гомеоморфизм — непрерывное взаимно-однозначное отображение одного топологического пространства в другое с также непрерывным обратным отображением.
• Равномерная непрерывность

• Пространство непрерывных функций
• Линейный непрерывный оператор
• Предел функции
• Общая топология
• Топологическое пространство
• Открытое отображение
• Равномерная непрерывность

Математические Этюды Архивная копия от 18 октября 2011 на Wayback Machine Мультик про непрерывность

• Келли Дж. Л. Глава 3. Произведения и фактор-пространства // Общая топология = General topology. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 119—151. — 438 с.