Векторное пространство

Ве́кторное простра́нство (лине́йное пространство) — математическая структура, представляющая собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр^[1]. Эти операции подчинены восьми аксиомам➤. Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трёхмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил. При этом вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы^[2].

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность.➤ Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, которые невозможно выразить друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств^[англ.], где в качестве векторов выступают функции. Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет определить понятия близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.

Линейное, или векторное, пространство ${\displaystyle V(F)}$ над полем ${\displaystyle F}$ — это упорядоченная четвёрка ${\displaystyle (V,F,+,\cdot )}$, где

• ${\displaystyle V}$ — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами.
• ${\displaystyle F}$ — поле, элементы которого называются скалярами.
• Определена операция сложения векторов ${\displaystyle V\times V\to V}$, сопоставляющая каждой паре элементов ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$ множества ${\displaystyle V}$ единственный элемент множества ${\displaystyle V}$, называемый их суммой и обозначаемый ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$.
• Определена операция умножения векторов на скаляры ${\displaystyle F\times V\to V}$, сопоставляющая каждому элементу ${\displaystyle \lambda }$ поля ${\displaystyle F}$ и каждому элементу ${\displaystyle \mathbf {x} }$ множества ${\displaystyle V}$ единственный элемент множества ${\displaystyle V}$, обозначаемый ${\displaystyle \lambda \cdot \mathbf {x} }$ или ${\displaystyle \lambda \mathbf {x} }$.

Заданные операции должны удовлетворять следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

1. ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x} }$ для любых ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$ (коммутативность сложения);
2. ${\displaystyle \mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z} }$ для любых ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V}$ (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент ${\displaystyle \mathbf {0} \in V}$, что ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {0} +\mathbf {x} =\mathbf {x} }$ для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ (существование нейтрального элемента относительно сложения), называемый нулевым вектором, или просто нулём, пространства ${\displaystyle V}$;
4. для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ существует такой элемент ${\displaystyle -\mathbf {x} \in V}$, что ${\displaystyle \mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$, называемый вектором, противоположным вектору ${\displaystyle \mathbf {x} }$;
5. ${\displaystyle \alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x} }$ (ассоциативность умножения на скаляр);
6. ${\displaystyle 1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x} }$ (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля ${\displaystyle F}$ сохраняет вектор).
7. ${\displaystyle (\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x} }$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);
8. ${\displaystyle \alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y} }$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве ${\displaystyle V}$ структуру (аддитивной) абелевой группы.

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным — над полем комплексных чисел).

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
2. Нейтральный элемент ${\displaystyle \mathbf {0} \in V}$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
3. ${\displaystyle 0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0} }$ для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$.
4. Для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ противоположный элемент ${\displaystyle -\mathbf {x} \in V}$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
5. ${\displaystyle 1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x} }$ для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$.
6. ${\displaystyle (-\alpha )\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x} )=-(\alpha \mathbf {x} )}$ для любых ${\displaystyle \alpha \in F}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$.
7. ${\displaystyle \alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }$ для любого ${\displaystyle \alpha \in F}$.

Алгебраическое определение: Линейное подпространство, или векторное подпространство, ― непустое подмножество ${\displaystyle K}$ линейного пространства ${\displaystyle V}$ такое, что ${\displaystyle K}$ само является линейным пространством по отношению к определённым в ${\displaystyle V}$ действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как ${\displaystyle \mathrm {Lat} (V)}$. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

1. для всякого вектора ${\displaystyle \mathbf {x} \in K}$ вектор ${\displaystyle \alpha \mathbf {x} }$ также принадлежал ${\displaystyle K}$ при любом ${\displaystyle \alpha \in F}$;
2. для всяких векторов ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K}$ вектор ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$ также принадлежал ${\displaystyle K}$.

Эти два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K}$ вектор ${\displaystyle \alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} }$ также принадлежал ${\displaystyle K}$ для любых ${\displaystyle \alpha ,\beta \in F}$.

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными, или нетривиальными.

• Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
• Сумма подпространств ${\displaystyle \{K_{i}\mid i\in 1\ldots N\}}$ определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов ${\displaystyle K_{i}}$:

  ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{K_{i}}:=\{\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\ldots +\mathbf {x} _{N}\mid \mathbf {x} _{i}\in K_{i}\quad (i\in 1\ldots N)\}}$.

  • Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство.

Формальное выражение вида

${\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}}$

называется^[3] линейной комбинацией элементов ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\in V}$ с коэффициентами ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F}$.

В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства).

Линейная комбинация называется:

• нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
• барицентрической, если сумма её коэффициентов равна 1^[4],
• выпуклой, если сумма её коэффициентов равна 1 и все коэффициенты неотрицательны,
• сбалансированной, если сумма её коэффициентов равна 0.

Векторы ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}}$ называются^[5] линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, значение которой равно нулю; то есть

${\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}=\mathbf {0} }$

при некоторых ненулевых коэффициентах ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F}$ (то есть если хотя бы один из ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ не равен нулю).

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми.

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из ${\displaystyle V}$ называется линейно зависимым, если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Можно показать^[6], что число элементов (мощность) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется рангом, или размерностью, пространства, а само это упорядоченное множество — базисом (базисом Га́меля, или линейным базисом). Элементы базиса именуют базисными векторами. Размерность пространства чаще всего обозначается символом ${\displaystyle {\rm {dim}}}$.

Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется конечномерным, а во втором — бесконечномерным (например, бесконечномерным является пространство непрерывных функций). Традиционно изучение конечномерных векторных пространств и их отображений относится к линейной алгебре, а изучение бесконечномерных векторных пространств — к функциональному анализу. Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о сходимости соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с метрикой или топологией.

Свойства базиса:

• Любые ${\displaystyle n}$ линейно независимых элементов ${\displaystyle n}$-мерного пространства образуют базис этого пространства.

• Любой вектор ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

  ${\displaystyle \mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}}$.

Линейная оболочка ${\displaystyle {\mathcal {V}}(X)}$ подмножества ${\displaystyle X}$ линейного пространства ${\displaystyle V}$ — пересечение всех подпространств ${\displaystyle V}$, содержащих ${\displaystyle X}$.

Линейная оболочка является подпространством ${\displaystyle V}$.

Линейная оболочка также называется подпространством, порождённым ${\displaystyle X}$. Говорят также, что линейная оболочка ${\displaystyle {\mathcal {V}}(X)}$ — пространство, натянутое на множество ${\displaystyle X}$.

Линейная оболочка ${\displaystyle {\mathcal {V}}(X)}$ состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из ${\displaystyle X}$. В частности, если ${\displaystyle X}$ — конечное множество, то ${\displaystyle {\mathcal {V}}(X)}$ состоит из всех линейных комбинаций элементов ${\displaystyle X}$. Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если ${\displaystyle X}$ — линейно независимое множество, то оно является базисом ${\displaystyle {\mathcal {V}}(X)}$ и тем самым определяет его размерность.

Два линейных пространства ${\displaystyle V'(F)}$ и ${\displaystyle V''(F)}$ называются изоморфными, если между векторами ${\displaystyle x'\in V'}$ и ${\displaystyle x''\in V''}$ можно установить взаимно однозначное соответствие таким образом, что выполняются условия:

1. если вектору ${\displaystyle \mathbf {x} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \mathbf {x} ''\in V''}$, а вектору ${\displaystyle \mathbf {y} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \mathbf {y} ''\in V''}$, то вектору ${\displaystyle \mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''}$
2. если вектору ${\displaystyle \mathbf {x} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \mathbf {x} ''\in V''}$, и ${\displaystyle \lambda }$ - элемент поля ${\displaystyle F}$, то вектору ${\displaystyle \lambda \mathbf {x} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \lambda \mathbf {x} ''\in V''}$^[7]

• Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
• Пространство всех функций ${\displaystyle X\to F}$ с конечным носителем образует векторное пространство размерности, равной мощности ${\displaystyle X}$.
• Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
• Любое поле является одномерным пространством над собой.
• Пространства матриц и тензоров образуют линейное пространство.

• Нормированное векторное пространство
• Метрическое векторное пространство
• Топологическое векторное пространство
• Евклидово пространство
• Пространство Минковского
• Гильбертово пространство

• Аффинное пространство
• Выпуклый функционал
• Конечномерное пространство
• Линейная независимость
• Линейное отображение
• Модуль над кольцом
• Прямая сумма
• Сопряжённое пространство
• Флаг

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Гельфанд И. М.  Лекции по линейной алгебре. 5-е изд. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с. — ISBN 5-7913-0016-6.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. — 3-е. — М.: Наука., 2004. — 368 с. — (Университетский учебник).
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.

• Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М.: Наука, 1986. — 400 с.
• Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М.: Мир, 1980. — 454 с.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г.  Линейная алгебра. 6-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 263 с.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб.: Лань, 2007. — 416 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — 1-е. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.
• Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — 210 с.