Топологическая группа
Топологи́ческая гру́ппа (непрерывная группа) — это[1] группа, которая одновременно является топологическим пространством, причём умножение элементов группы G × G → G и операция взятия обратного элемента G → G являются непрерывными в используемой топологии.
Из приведённого определения непосредственно следует, что операции левого и правого сдвига, а также операция сопряжения, традиционно обозначаемые буквами l, r, a и определяемые равенствами
- lg(h) = gh,
- rg(h) = hg,
- ag(h) = ghg−1,
представляют собой гомеоморфизмы пространства G на себя.
Изоморфизм топологической группы G на топологическую группу H — это[2] биективное отображение группы G на H, которое одновременно является изоморфизмом структуры группы в G на структуру группы в H и гомеоморфизмом G на H.
Понятие топологической группы обобщает понятие группы Ли; последнее требует, чтобы операции умножения элементов и взятия обратного элемента были не только непрерывными, но аналитическими или голоморфными (при этом на группе вводится не только топология, но и структура аналитического или комплексного многообразия).
Примеры топологических групп
- Множество квадратных матриц одного порядка с ненулевыми детерминантами и действительными элементами образуют топологическую группу при задании операции обычного матричного умножения.
- Векторное пространство конечной размерности образует топологическую группу при задании операции сложения векторов.
См. также
Примечания
- ↑ Бурбаки, 1969, с. 12.
- ↑ Бурбаки, 1969, с. 17—18.
Литература
- Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968. — 272 с.
- Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. — М.: Наука, 1969. — 392 с.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 780 с.
- Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. 3-е изд. — М.: Наука, 1973. — 527 с.
- McCarty G. Topology: An Introduction with Application to Topological Groups. 2nd edition. — New York: Dover Publications, 1988. — 270 p. — ISBN 0-486-65633-0.
Ссылки
- Topological group (англ.)
